循环小数，也称为无限循环小数，是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数。
循环小数 1 7 =0.142857142857…
各种各样的数
基本
N
⊆
Z
⊆
Q
⊆
R
⊆
C
{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正数
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
正整数
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数有限小数无限小数循环小数有理数
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
负数
R
−
{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数
Z
−
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数单位分数二进分数规矩数无理数超越数虚数
I
{\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数艾森斯坦整数
Z
[
ω
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
延伸
二元数四元数
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
超实数
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数上超实数
双曲复数双复数复四元数共四元数（英语：Dual quaternion）超复数超数超现实数
其他
素数
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数基数阿列夫数同余整数数列公称值
规矩数可定义数序数超限数p进数数学常数
圆周率
π
=
3.14159265
{\displaystyle \pi =3.14159265}
…自然对数的底
e
=
2.718281828
{\displaystyle e=2.718281828}
…虚数单位
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
无穷大
∞
{\displaystyle \infty }
查论编
目录
1 定义
2 性质
3 化为分数的方法
4 计算方法
5 表示方法
6 缺点
6.1 不唯一性
6.2 与进位制系统密切相关
7 参考资料
8 参见
9 外部链接
定义
循环小数都为有理数的小数表示形式，例：
5
4
=
1.25
=
1.25000000
⋯
=
1.25
0
¯
=
1.24999999
⋯
=
1.24
9
¯
{\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}}
1
3
=
0.3333333
⋯
=
0.
3
¯
{\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}
1
7
=
0.
142857
142857
⋯
=
0.
142857
¯
{\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}
性质
一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。为了证明这点，可用反证法。假设
n
{\displaystyle n}
的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m为，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
根据分数
b
a
{\displaystyle {\frac {b}{a}}}
的情况分开讨论1.除数a为
2
m
×
5
n
×
K
{\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times K}
的倍数时，
b
÷
a
{\displaystyle b\div a}
有max(m,n)个不循环位数，其中
b
{\displaystyle b}
为任意自然数，
K
{\displaystyle K}
为非
2
m
,
5
n
{\displaystyle 2^{m},5^{n}}
之其他数。
2.如果
1
⩽
b
<
a
{\displaystyle 1\leqslant b ，a不是2或5的倍数，并且a与b互素，那么存在一个正整数e，e为 b ÷ a {\displaystyle b\div a} 的循环节位数，而e= min { e ∈ N : 10 e ≡ 1 ( mod a ) } {\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}} 。[1] 10 e ≡ 1 ( mod a ) {\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}} 表示 10 e − 1 {\displaystyle 10^{e}-1} 可以整除a，或称 10 e {\displaystyle 10^{e}} 与1同余） 事实上以该参考文献的定理一公式推导式子: 10 d × b a = q + b a {\displaystyle {\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}} 来看， b > a {\displaystyle b>a} 也成立，例如 2 7 {\displaystyle {\frac {2}{7}}} 与 9 7 {\displaystyle {\frac {9}{7}}} ，两者循环小数一致，因为 8 7 = 1 + 1 7 {\displaystyle {\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}} ，只差别在商，余数皆为1(同余)故成立。 3.承接以上两点，当除数a可以素因数标准分解式表示成 ( 2 m × 5 n ) × ( P 1 S 1 × P 2 S 2 × {\displaystyle (2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times } ⋯ × P n S n ) {\displaystyle \times Pn^{Sn})} 时，会有max(m,n)个不循环位数，和 E {\displaystyle E} 个循环节位数。 其中， P 1 S 1 {\displaystyle P1^{S1}} , P 2 S 2 {\displaystyle P2^{S2}} ,⋯, P n S n {\displaystyle Pn^{Sn}} 分别各有e1,e2,...,en个循环节位数，存在一个最小公倍数 E = [ {\displaystyle E=[} e1,e2,...,en ] {\displaystyle ]} 。 例： 11 2 2 × 3 2 × 5 3 × 7 × 17 {\displaystyle {\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}} 的循环节个数？ 答：前三位不循环（2 和 5 的最高次方为 3），循环节个数是 48（因为 3 2 {\displaystyle 3^{2}} 的循环节位数为1，7的循环节位数为6，17的循环节位数为16，[1,6,16]=48）[2]化为分数的方法 0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未约至最简) (⬇另一方法) 先看有几位“非循环节位数（ n {\displaystyle {\color {blue}n\,\!}} ）”和“循环节位数（ m {\displaystyle {\color {red}m\,\!}} ）”，算出后，将 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}} 摆于“分母”。 “分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字，将其减去“非循环节部分”，即 a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n {\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} ，详细公式如下。 公式： 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}} 原理： 令 x = 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} 。 则 10 n x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n . b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle 10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} ──①式。 10 n + m x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m . b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle 10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} ──②式。 ②－①⇒ ( 10 n + m − 10 n ) x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n {\displaystyle \left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} 。 x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 10 n + m − 10 n = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 10 n ( 10 m − 1 ) = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 1000 ⋯ 0 ⏟ n × 999 ⋯ 9 ⏟ m = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle {\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}} 。 范例： 0.1 23 ¯ = 123 − 1 990 = 61 495 {\displaystyle 0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}} 。 令 x = 0.1 23 ¯ {\displaystyle x=0.1{\overline {23}}} 则 10 x = 1. 23 ¯ {\displaystyle 10x=1.{\overline {23}}} 、 1000 x = 123. 23 ¯ {\displaystyle 1000x=123.{\overline {23}}} 两式相减得 ( 1000 − 10 ) x = 123 − 1 {\displaystyle \left(1000-10\right)x=123-1} ， 990 x = 122 {\displaystyle 990x=122\,\!} ∴ x = 61 495 {\displaystyle x={\frac {61}{495}}} 。计算方法 利用短除法可以将分数(有理数， Q {\displaystyle \mathbb {Q} } )转化为循环小数。 例如 3 7 {\displaystyle {\frac {3}{7}}} 可以用短除法计算如下： 7|3.00000000000000000 0.42857142857142857... 表示方法 在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。 使用“上横线”表示，如： 1 70 = 0.0 142857 ¯ {\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}} 使用“上点”表示，如： 1 70 = 0.0 1 ˙ 4285 7 ˙ {\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}} 使用“大括号”表示，如： 1 70 = 0.0 { 142857 } {\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}} 缺点 不唯一性 使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如 1.000000 ⋯ = 1. 0 ¯ = 0. 9 ¯ = 0.999999 ⋯ {\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots } 与进位制系统密切相关 由于循环小数与进位制系统密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如： 1 17 = 0. 0588235294117647 0588235294117647 ⋯ = 0. 0588235294117647 ¯ {\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}} 但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如 1 17 = 1 11 ( 16 ) = 0. 0 F 0 F ⋯ ( 16 ) = 0. 0 F ¯ ( 16 ) {\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}} 又或 1 17 = 1 10 ( 17 ) = 0.1 ( 17 ) {\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}} 参考资料 ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 数学传播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. （原始内容 (PDF)存档于2021-11-04）. ^ 質數循環節的位數 (PDF). [2008-08-18]. （原始内容 (PDF)存档于2017-01-12）. 参见 0.999… Midy定理外部链接